.

0 (hodnocen0 x )

EB

EB

ONLINE

[Praha] : Karolinum, 2021

1 online zdroj (318 stran)

ISBN 978-80-246-4833-0 (online ; pdf)

ISBN 978-80-246-4819-4 (print)

Kniha je věnována genezi současného chápání pojmu čísla, které je mnohotvárné. Osou je postup od čísel přirozených po kvaterniony a oktoniony, který je strukturován jako zřetězení hermeneutických cyklů jednak uvnitř matematiky, jednak mezi matematikou a fyzikou. Přirozená a racionální čísla mají úzkou vazbu na náš pobyt ve světě, jsou víceméně součástí našeho přirozeného světa. Jinak je tomu s čísly zápornými, iracionálními a komplexními (imaginárními). Ta vznikala formálním způsobem z vnitřních potřeb matematiky, často proti vůli a s odporem samotných matematiků. Teprve se zápornými a iracionálními čísly však bylo možné vybudovat diferenciální a integrální počet. Teorie diferenciálních rovnic pak umožnila formulaci univerzálně platných fyzikálních zákonů od newtonovské dynamiky přes termodynamiku, teorii elektromagnetického pole až po teorii relativity a kvantovou mechaniku. V té pak hrají zásadní roli čísla komplexní, vstupující přímo do jejích základů – a byl to matematický formalismus, který motivoval zavedení imaginární jednotky do Schrödingerovy rovnice, dynamického principu mikrosvěta. Vedle této hlavní linie je pozornost věnována třem významným modifikacím koncepce čísla: od přirozených čísel k transfinitním číslům, ordinálním a kardinálním, od racionálních čísel k algebraickým a algoritmickým a konečně od čísel „obyčejných“ k číslům nestandardním..

001640277

Předmluva 9 // 1 Přirozená čísla 15 // 1.1 Základní čísla 15 // 1.2 ňadová čísla 19 // 1.3 Stejněpočetnost 20 // 1.4 Jména čísel 21 // 1.5 Algebraická symbolika 24 // 1.6 Přirozená čísla 28 // 1.7 Princip úplné indukce 30 // 1.8 Naivní teorie čísel 33 // 2 Racionální čísla 39 // 2.1 Délka a vzdálenost 40 // 2.2 Zlomky 40 // 2.3 Plocha 43 // 2.4 Objem 45 // 2.5 Úhel 46 // 2.6 Váha 47 // 2.7 Čas 47 // 2.8 Teplota 49 // 2.9 Odvozené veličiny 49 // 2.10 Teorie poměrů 50 // 2.11 Kvadratické rovnice 54 // 1 Reálná čísla 59 // 3.1 Iracionální čísla 60 // 3.2 ňezy 62 // 3.3 Úplnost 65 // 3.4 Nekonečno 67 // 3.5 Reálná poloosa 68 // 3.6 Poziční číselné soustavy 70 // 3.7 Geometrie číselných soustav 73 // 3.8 Kontinuum a diskontinuum 76 // 4 Záporná čísla 81 // 4.1 Tělesa 82 // 4.2 Celá čísla 87 // 4.3 Kvadratické rovnice 89 // 4.4 Reálné funkce 92 // 4.5 Diferenciální počet 96 // 4.6 Integrální počet 99 // 4.7 Analytické funkce 102 // 5 Diferenciální rovnice 105 // 5.1 Exponenciála 106 // 5.2 Goniometrické funkce 108 // 5.3 Hyperbolické funkce 113 // 5.4 Harmonický oscilátor 115 // 5.5 Vlnová rovnice 118 // 5.6 Fourierovy řady 121 // 5.7 Difuzní rovnice 128 // 6 Komplexní čísla 131 // 6.1 Kubické rovnice 131 // 6.2 Komplexní rovina 136 // 6.3 Komplexní funkce 139 // 6.4 Kubické rovnice v komplexní rovině 141 // 6.5 Základní věta algebry 145 // 6.6 Komplexní sféra 148 // 6.7 Holomorfní funkce 150 // 6.8 Křivkový integrál 155 // 6.9 Analytické pokračování 159 // 6.10 Diferenciální rovnice 160 // 6.11 Fourierovy řady 162 // 6.12 Střídavý proud a napětí 163 // 6.13 Kvaterniony a oktoniony 170 // 7 Kvantová mechanika 173 // 7.1 Komplexní čísla ve fyzice 173 // 7.2 Zvukové vlny 175 // 7.3 Elektromagnetické vlny 178 // 7.4 De Broglieovy hmotné vlny 183 //

7.5 Schrödingerova rovnice 187 // 7.6 Stacionární Schrödingerova rovnice 192 // 7.7 Volná částice 194 // 7.8 Částice v krabici 198 // 7.9 Harmonický oscilátor 201 // 8 Algoritmická čísla 209 // 8.1 Turingův automat 209 // 8.2 Univerzální Turingův automat 211 // 8.3 Rekurzivní množiny 213 // 8.4 Nekonečná algoritmická slova 215 // 8.5 Algoritmická zobrazení 216 // 8.6 Nekonečné rozvoje 218 // 8.7 Aritmetické operace 220 // 8.8 Algoritmické funkce 221 // 8.9 Konstruktivní analýza 223 // 9 Logika přirozených čísel 225 // 9.1 Predikátový počet prvního řádu 226 // 9.2 Pravdivost aritmetických formulí 230 // 9.3 Sémantika predikátového počtu 231 // 9.4 Formální důkazy 234 // 9.5 Axiomatika přirozených čísel 236 // 9.6 Peanova a Robinsonova aritmetika 238 // 9.7 Ultraprodukt 241 // 9.8 Aritmetizace logiky 243 // 9.9 Nedefinovatelnost pravdivosti 245 // 9.10 Neúplnost aritmetických teorií 247 // 9.11 Velká čísla 250 // 10 Infinitesimální čísla 255 // 10.1 Nestandardní čísla 255 // 10.2 Nestandardní množiny a funkce 257 // 10.3 Topologické pojmy 260 // 11 Transfinitní čísla 263 // 11.1 Univerzum množin 263 // 11.2 Axiomatika teorie množin 266 // 11.3 Relace a funkce 271 // 11.4 Třídy 273 // 11.5 Ordinální čísla 275 // 11.6 Pravdivost aritmetických sentencí 279 // 11.7 Kardinální čísla 281 // 11.8 Kumulativní hierarchie 285 // 12 Povaha čísel 289 // Literatura 299 // Jmenný rejstřík 309 // Věcný rejstřík 311

(MiAaPQ)ECB6554154